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明思宗崇祯八年（1635年），芝龙以明水师提督之职，攻打其海盗刘香，芝虎随征，战刘香于广东海上，「口含钢刀，手持藤盾牌，船尾绳荡跃」跳至刘香船上格斗，「格盗殆尽」几乎杀光刘香手下海盗。却大意中伏，遭到渔网网住掷入海里，溺毙。芝龙哀痛万般，为之昏厥。刘香则为芝龙所败，炸船自杀。事后，芝龙与潜水夫同潜，欲寻芝虎尸，不获。
一说，刘香最后点燃船上的火药与郑芝虎同归于尽。
芝虎生前未娶，并无子嗣。芝龙将其留在日本之子次郎，过继与芝虎为子。
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抽屉原理断言，若件物放入个抽屉，而，则必有某抽屉内放有多于一件物。此原理广泛用于存在性证明，即证明具某组合性质的物件存在，但不举出例子。
特异元素法是刻意将集合中的某元素与其他元素区分，视为特殊，于是所有子集可以分为包含该特殊元素与不包含该特殊元素两类。如此，有时能化简问题。
母函数是形式幂级数（类似于多项式，但可以有无穷多个项），其系数依次对应数列的各项。以母函数表示数列，开拓了证明恒等式和求数列通项公式的新方法。数列的（一般）母函数由下式定义：
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太延元年（435）十一月，魏太武帝东巡冀州和定州，十二月取五回道返回平城，经定州中山郡，进入徐水河谷。魏太武帝即兴在猫儿岩下演示射术，射出的箭越过猫儿岩有三百多步，魏太武帝命令随从擅于射箭的将士数百人都去射箭，拓跋齐也作为魏军中箭术出众的代表射箭，但没有超过魏太武帝的射程。拓跋齐在之后修造的《太武帝东巡碑》题名中称之为“前军将军、浮阳侯阿齐”。
太延六年（440年）四月，拓跋齐和新兴王拓跋俊参与讨伐反叛的秃发保周，因事被定罪免除官职和爵位。
太平真君三年（442年），南朝宋将领裴方明攻陷仇池，太武帝复授拓跋齐为前将军，与建兴公古弼等人率领两万军队进攻仇池，太平真君四年（443年），刘宋秦州刺史胡崇之战败，北魏攻克仇池，威振羌氐。复赐爵河间公。太平真君四年（443年），时拓跋齐与武都王杨保宗皆镇骆谷。当时杨保宗的弟弟杨文德说服杨保宗叛魏闭险自固，秦州主簿边因知道并密告拓跋齐。拓跋齐晨早拜会杨保宗，对他说：「古弼来了，有诏令宣布。」杨保宗出迎，拓跋齐即命左右扶杨保宗上马，驰驿送到平城。诸氐遂推杨文德为主，并向南朝宋。刘义隆遣大将房亮之、苻昭、啖龙等率众助杨文德。拓跋齐出击斩杀啖龙，擒下房亮之，平定了当地。以军功拜内都大官。逝世后，谥号敬。
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