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这里涉及了两个群 SO 与 Spin（对给定的符号），前者有一个忠实的维矩阵表示，但后者（一般）只忠实的作用在更高维的旋量空间。Spin 是 SO 单位分支的二重复盖，所以后者是前者的一个商（如果 p 和 q 都不是零，则特殊正交群有两个分支，而自旋群 Spin 只有一个）。这意味着取值于 Spin 的转移数据自动给出 SO 的转移数据：转到商群失去了一些信息。

从而一个 Spin-丛总给出一个相伴以为纤维的丛，因为 Spin 通过其商 SO 作用在上。反过来，对 SO-丛有一个提升问题：要变成一个 Spin-丛，在转移数据上有一个一致性问题。已经知道这个提升的阻碍是第二Stiefel-Whitney class（ Stiefel-Whitney class）。

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1667年的遗产战争和1672年的法荷战争之后，法国获得了西属尼德兰和莱茵河西岸神圣罗马帝国的数座重要城市。然而路易十四的扩张主义热情并未因此减弱，反而变本加厉，对莱茵河西岸阿尔萨斯地区的神圣罗马帝国自由城斯特拉斯堡和西属尼德兰的卢森堡虎视眈眈。1679至1680年间，路易十四在布洛扎克、梅斯和贝桑松议会中附设了重盟议会，其目的便是从法律上论证法国对莱茵河西岸大量地区的占有权。1681年，路易十四便以“重盟”为名，强行夺取了斯特拉斯堡。面对法军重兵围城，斯特拉斯堡只得投降，路易十四于1681年9月30日进入城中。同年，法国又以同样的借口占领了卡萨莱蒙费拉托。路易十四也命令布夫莱公爵路易·弗朗索瓦率军对卢森堡展开了围城并对其进行炮击，但因此时神圣联盟战争正值白热化阶段，奥斯曼土耳其帝国对包括神圣罗马帝国在内的众多欧洲国家展开了攻势，路易十四认为一个基督教国家不应进攻另一个正在抵抗伊斯兰教入侵的基督教国家，于是便终止了对卢森堡的围攻。

1683年9月12日维也纳之战之后，奥斯曼土耳其对神圣罗马帝国的威胁暂时解除。路易十四便重新提出了与卢森堡“重盟”的要求，遭到后者反对后，战争爆发。获得了神圣罗马帝国支持的西班牙帝国于1683年10月26日对法宣战。法军随即在11月6日于围城后占领了科特赖克，迪克斯迈德随后也在10日投降。由弗朗索瓦·德·克雷基率领的法军于12月对卢森堡要塞展开了臼炮轰炸，尽管要塞内的大量防御工事被毁，但法军最终未能攻克该城。真正的Siege of Luxembourg (1684)于1684年4月29日开始，在著名法国军事工程师德·沃邦的协助下，法军最终在惨烈战斗后于6月3日攻克卢森堡。与此同时，为了惩罚热那亚为西班牙造船并向后者提供雇佣兵，法军于5月5日派遣了一支强大舰队封锁热那亚（由海军名将迪凯纳、图尔维尔统帅），并从17日至28日开始了对该城的猛烈炮击，导致其三分之二彻底被毁。有神罗支援的西军继续与法军在卢森堡地区作战，直到《Truce of Ratisbon》于8月15日签订，西班牙帝国和神圣罗马帝国正式将斯特拉斯堡和卢森堡以及所有“重盟”地区租让给法国20年。战争期间，为了对敌军和占领区人民进行心理攻势，法军对任何的反抗采取了强硬的措施，为了惩罚对法军的抵抗烧毁了大量村庄。

相比由路易十四挑起的诸多其它战争，重盟战争规模较小，与遗产战争和法荷战争一样是法国向东逐步扩张的一部分，也是法国波旁王朝与西班牙哈布斯堡王朝之间无数争端中的一次。《雷根斯堡停战协定》仅仅默认了法国对莱茵河西岸地区的蚕食，未能制止路易十四的扩张。重盟战争最终也是1688年更为惨烈的大同盟战争的众多导火索之一。

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本鱼体侧扁，背鳍后方具一黑斑，体棕绿色带虹彩，腹部前端红色，体侧有8至9条横纹，尾鳍截形。背鳍硬棘13至16枚；背鳍软条10至14枚；臀鳍硬棘3枚；臀鳍软条8至10枚，体长约在40公分。

本鱼为次级性淡水鱼，属广盐性鱼类，对环境适应力强，杂食性，以水生昆虫、有机碎屑为食，为筑巢产卵，亲鱼会护卵至幼鱼。

为高经济价值的食用鱼及养殖鱼类，另可做为观赏鱼。

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