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若取另一个生成集合，则和之间的字度量，因为用所能表示成的最短的字（3-2或-2+3）的长度为2。

从字度量的定义可以看出，群于自身的左乘作用下，字度量不变：

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1217年四月，宋军在襄阳击败金军时，金军另一路围攻枣阳，南宋钤辖孟宗政奉命率军驰援，使围城金军退走。

1218年正月，金朝签书枢密院事完颜赛不率军号称十万再围枣阳。孟宗政与统制扈再兴合兵拒敌，双方对峙三个月，大小七十余战，金军在城四周开壕，驻兵于壕外长久围困。孟宗政招兵依城拒守，同时派军突袭金军。随州许国率军到枣阳城南白水，孟宗政乘机率部出击，金军在宋军的夹击下，退回淮北。

1219年春，金军分三路南攻，中路完颜讹可军进围枣阳被宋军击退后，于七月再围枣阳。孟宗政率部用沙袋、糠囊筑垒以护城栅，并招募炮手抵御。金军选精兵两千，号称弩子手，架云梯、天桥攻城，被宋军击退。金军命攻城将士身穿厚铠，戴着铁面具攻城，孟宗政率部与金军大战十五阵，连败金军，金军攻城不下，在城下驻军八十余日。南宋京湖制置使赵方命在唐州（今河南唐河）、邓州的许国、扈再兴二部回师枣阳，合攻金军。扈再兴于鲞河击败金军，在枣阳城南再败金军，孟宗政从城中出击，内外合军、大败金军，杀三万余人。完颜讹可单骑逃走，宋军追至马山（今河南内乡西南）焚金寨，入邓州。

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他自小即喜欢解决复杂的数学问题。后来进入剑桥大学三一学院，在希腊语、法语、德语、意大利语以及数学方面成绩优异。

他就读大学时已发表了3篇论文。为了谋生，他在1849年起正式执业为律师。到了1863年，他才正式进入学术圈，成为剑桥大学的教授。在他当律师的14年间，他发表了约二百五十篇论文。他一生发表了过九百篇论文，包括关于非欧几何、线性代数、群论和高维几何。

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