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支出最小化问题,在经济学,特别是微观经济学中是效用最大化问题的对偶问题,直观地说就是:“需要多少钱才能使我效用达到最大?” 给定效用函数,价格,和效用目标,这个问题可以分为两部分。
* 由Hicksian demand function决定消费者如何在极小化其支出的情况下维持其效用不变。
假设消费者有一个定义在种商品上的效用函数。则该消费者的支出函数给出在给定价格为的情况下购买一组商品,使得得到的效用时所需钱的数额。
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卡洛斯·弗伦克在墨西哥长大。1972年,他进入墨西哥国立自治大学攻读理论物理学,并于四年后以最高成绩毕业,获得学士学位。1976年他进入康桥大学攻读数学硕士学位,并在一年后以荣誉学位毕业。拿到硕士学位后他进入康桥大学天文学研究所,并于1981年在伯纳德·琼斯的指导下获得博士学位。毕业后他前往美国的加州大学柏克莱分校做博士后,并在此地和马克·戴维斯、乔治·埃夫斯塔希欧、西蒙·怀特开始试图建立整个宇宙的模型的工作。他们证明了以中微子为主导的热暗物质宇宙的星系形成模式与观测结果不匹配从而建立起了以冷暗物质为主导的宇宙模型体系。
在加州大学圣塔芭芭拉分校和萨塞克斯大学做完博士后之后,弗伦克于1985年进入英国的杜伦大学,并在1993年成为教授。在此期间,与马克·戴维斯、乔治·埃夫斯塔希欧、西蒙·怀特四人一起在1991年针对没有暗能量的冷暗物质宇宙学模型做了一次修正,正式提出了将宇宙学常数加入冷暗物质宇宙学的方案,这个模型后来演变成了现在宇宙学的主流的ΛCDM模型。同样是在1991年,弗伦克与西蒙·怀特在1978年怀特和芮斯的论文的基础上建立起了现有星系形成和演化模型的标准范式。
弗伦克和怀特的学术巅峰于几年后到来,在1996年和1997年,与亚利桑那大学的Julio Navarro一起,他们证明了几条暗物质晕的质量分布的几个共性,并以此建立起了一个在怀特、芮斯和弗伦克的星系形成理论下可适用于整个可观测宇宙的的暗物质晕的空间质量分布模型,这个模型被称作Navarro-Frenk-White Profile。这两篇总引用数接近13000次的文章给弗伦克带来了很高的名誉。但是,虽然这个模型的出发点是去解决之前冷暗物质模型无法解决的矮星系问题,这个模型也不可避免地带来了星系晕尖点问题,并且对矮星系问题的解释依然无法很合适地匹配观测现象。
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加通湖(Lago Gatún)是一座位于巴拿马的人工湖,也是巴拿马运河区内最大的湖泊,占运河区面积的很大一部分。
加通湖修建于1907年至1913年之间,由于查格雷斯河(Chagres River)上修建加通水坝的关系而形成。加通湖完成时是当时世界上最大的人工湖,加通水坝是世界最大的土石坝。
加通湖面积约425km² ,海拔26m。由于湖泊修建的关系,许多蓄水区的小山丘顶部变成了湖中岛屿,其中最大也最知名地是巴洛·科罗拉多岛(Barro Colorado Island)。
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