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更新于 2026-10-29

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一类是计数原理,如加法原理、乘法原理、容斥原理,常用于解决组合计数问题。另一类则是证明技巧,如双射法用于证明某两类物件的数目一样多,而抽屉原理则能保证某些物件存在,也用作确定离散物件数目的最大或最小值,还有算两次和method of distinguished element能证明许多组合恒等式。

母函数和递归关系也是很强的工具,能巧妙操作数列,描述许多组合问题的情景,甚至将之解决。

加法原理是以下直观结论:若有两类方法做某事,甲类种,乙类种,且只能用其中一类的一种,则做该事的方法,合共种。用较严谨的语言,两个不交集的基数之和,等于其并集的基数。

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相关阅读:证明组合学的结论时

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晋代徐广《弹棋经》:「弹棋,二人对局。黑白各六枚。先列棋相当,下呼上击之。」又说:「昔汉武帝平西域,得胡人善蹴踘者,尽炫其便捷跳跃,帝好而为之,群臣不能谏。侍臣东方朔因以此艺进之。帝乃舍蹴踘而习弹棋焉。」

唐代杜甫、韦应物、韩愈、柳宗元、李商隐等人都参与弹棋的记载,并有诗、文留念,柳宗元在《弹棋序》曰:「置棋二十有四。贵者半,贱者半。贵曰上,贱曰下。咸自第一至十二。下者二乃敌一,用朱墨以别焉。」

明代谢肇淛《五杂俎》:「弹棋之戏,世不传矣,即其局亦无有识之者。吕进伯谓其形似香炉,然中央高,四周低,与香炉全不似也。弘农杨牢,六岁咏弹棋局云:『魁形下方天顶突,二十四寸窗中月。』想其制方二尺有四寸,其中央高者犹圆耳。今闽中妇人女子尚有弹子之戏,其法以围棋子五,随手撒几上,敌者用意去其二,而留三,所留必隔远,或相黏一处者,然后弹之,必越中子而击中之,中子不动则胜矣。此即弹棋遗法。魏文帝客以葛巾拂无不中者也,但无中央高之局耳。」

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