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考虑的一个仅得个交叉的画法。可以在每个交叉删走其中一条边，从而消除所有交叉。于是，剩下的边组成一幅平面图（因为不再有交叉），其边数至少为，顶点数则仍旧为。根据平面图的欧拉公式，，所以上述估计成立。（更准确来说，对于，有。）
有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
由于中每个顶点选入中的概率为，有。类似知中每条边入选的概率为（因为其两端皆要入选），所以。最后，在的画法中，每个交叉有的概率落入，因为每个交叉牵涉四个顶点。（若从同一个顶点出发画出两条边有交叉，则不妨将两条边第一次相交以后的部分对调，从而令交叉的数目变少。由于所考虑的画法仅得个交叉，无法再减少交叉，所以每个交叉必由两条无公共端点的边组成。）因此，，于是上式可写成
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巢湖市第二中学，简称巢湖二中,为安徽省示范性高中之一。
学校前身为1947年创办的私立皖光初级中学；在1952年改为公办学校；学校先后更名为巢县初级中学（1952－1959年）、巢县第二中学（1960－1968年，同时在1960年增设了高中部）、巢城中学（1969－1970年，与巢县一中合并）、巢县第二中学（1971－1983年）、巢湖市第二中学（1984年至今）。
学校先后被评定为安徽省重点初中（1956年）、巢县重点中学（1978年）、巢湖地区重点中学（1984年）、巢湖市示范完中（2000年）、安徽省示范高中（2004年）等荣誉称号。在2016年，新校区开始开工建设。
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武左铁路是山西省及长治市两级地方政府按照80%、20%比例投资建设的运煤支线地方铁路。西起太焦铁路上的武乡东站，东至阳涉铁路上的左权站。全长84公里，设车站9座。设计能力近期600万吨，远期900万吨。由山西能源交通投资有限公司所属的山西地方铁路集团有限责任公司的控股子公司山西武沁铁路有限公司负责运营。
武左铁路由武墨铁路（武乡东站－墨镫站，长59公里）与墨左铁路（墨镫站－左权站，长25.67公里）两段组成。
武墨铁路在1987年9月正式开工建设，武乡-北社段于1993年6月建成，交付运营。北社-柳沟段1998年12月实现简易开通运营。柳沟－墨镫段已经经过验收，具备临时运营的条件。墨镫至左权的墨左铁路全长25.67公里，其中隧道长5.8公里，于2003年10月1日开工，2005年年底建成。
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