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给定具有无穷个顶点但每个顶点的度有限的连通图G，则对G的任意顶点都至少存在一条无穷的简单路径。
对G的任意顶点v1，因G连通，故v1到G的任意顶点都存在简单路径。由于G存在无穷个顶点，故存在从v1出发的一个无穷的简单路径集。考虑这个无穷简单路径集。因v1的度有限，故该无穷集必然有一个无穷子集通过v1的某个相邻顶点v2。同理，考察通过v1、v2的该无穷简单路径子集，因v2的度有限，故这些无穷简单路径又存在一无穷子集通过v2的某个相邻顶点v3，注意v3≠v1。以此类推，可得一无穷简单路径v1v2v3...。
* 上述证明为非构造证明，只说明存在性，但没有给出计算该路径的算法（事实上，该算法不存在）。
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该师成立于1956年7月1日，即德国联邦国防军正式成立的日子。它是新德国陆军的第一个全面运作的单位。最初被称为第 1掷弹兵师，它在1980年代进行了重组，并于1981年装备了装甲部队。在此期间，它是德国联邦国防军第一军团的一部分，又是北约北方集团军中欧盟军的一部分。
第1装甲师曾被部署到巴尔干半岛、阿富汗和其他几个维和行动中。在1962年的汉堡洪水、1970年代德国北部的灾难性森林大火和2002年德国东部的洪水等大型自然灾害期间，该师的部队也被部署到支持民间机构。
该师与美国陆军第28步兵师建立伙伴关系。
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