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提刑王汝舟从曾孙。生于绍兴八年，自幼笃学，宋孝宗乾道五年（1169年）郑侨榜进士。任明州司法参军，丁母忧，再调鄂州崇阳（今属湖北省）主簿，张栻帅江陵，王炎入其幕府。淳熙十年（1183年），改任潭州（今湖南省长沙市）教授，改知临湘县。与淳熙年间观文殿大学士王炎同名姓。后通判临江军，知饶州。入临安府除太学博士，宋宁宗庆元三年（1197年）迁秘书郎，庆元四年（1198年）十月，著作佐郎兼实录院检讨。庆元中期出守湖州。庆元五年（1199年），复官升著作郎兼考功郎、吴兴郡王府教授，又兼待左郎官、礼部员外郎。庆元六年（1200年）二月为军器少监，累官至军器监兼权礼部郎官、中奉大夫，赐金紫光禄大夫，封婺源县男。所居在武水之阳，双溪合流，因以自号双溪。他用力著《易解》，书未成病重，对天祝告：“愿须臾毋死，以成此书。”嘉泰元年（1201年）罢，嘉定十一年（1218年）卒，年八十一。
平生与朱熹交谊颇深。朱熹为待制，侍经筵，适逢宋宁宗居丧，朱熹择日开讲。王炎给他写信论其非礼。
《四库全书总目提要》称其诗文“博雅精深”、“具有根柢”。著作总题《双溪类稿》，佚失，今仅存诗文《双溪集》二十七卷，为赋乐府一卷，诗词九卷，文十七卷。咏物常寄高洁之怀，著有《双溪诗余》，《双溪诗余》自序“不溺于情欲,不荡而无法”、“不贵豪壮语”、“性婉转妩媚为善”。《双溪诗余自叙》称已接触到词家豪放和婉约两种不同的艺术风格。王炎兼通医道。平时留心医药，且有著述。其中有所注《伤寒论》等，已佚。《双溪文集》中有“运气论”、“本草正经序”等有关医药内容。所辑《本草正经》三卷，为《神农本草经》最早辑本，今佚。著有《读易笔记》八卷及《易数稽疑》，《周易音训》12卷，传于世。另著有《易解》，今亡佚。
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GCD环是一种有特殊性质的整环R，满足其中任二个非零的元素都有最大公因数（GCD），或者等价的，都有最小公倍数（LCM）。
GCD环是将唯一分解整环推广到非诺特环的情况，事实上，一个整环是唯一分解整环若且惟若其为满足ascending chain condition on principal ideals的GCD环。
GCD环中每个不可约元素都是质元素（不过GCD环中不一定要有不可约元素，其至GCD环可能不是一个域）。GCD环是 integrally closed的，且其中每一个非零的元素都是primal element。换句话说，每个GCD环都是Schreier domain。
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