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如果 F : C → D 是一个范畴等价,而 G1 与 G2 是两个逆,则 G1 与 G2 是自然同构的。
如果 F : C → D 是一个范畴等价,若 C 是一个预可加范畴(或可加范畴,或阿贝尔范畴),则 D 可以变成预可加范畴(或可加范畴,或阿贝尔范畴)并使 F 成为可加函子。另一方面,可加范畴之间的任何等价必然可加。(注意后一个论断对预可加范畴的等价不成立。)
一个范畴 C 的自等价是一个等价 F : C → C。如果我们将两个自然同构的自等价视为一样的,则 C 的自等价在复合下构成一个群。这个群抓住了 C 的本质对称。(注意:如果 C 不是小范畴,则 C 的自同构可能是一个真类而不是集合。)
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2000年5月发行首张独立专辑《Incognegro》而出道 。2003年10月发行第三张录音室专辑《Chicken-n-Beer》,获得美国告示牌Billboard冠军。同年其主演的首部电影《玩命关头2:飙风再起》上映,
他凭借该片入围了第13届MTV电影奖「最具突破男演员奖」。2005年2月凭借与亚瑟小子、Lil Jon合唱的歌曲《Yeah!》获得第47届格莱美奖「最佳说唱歌曲合作奖 」。
2006年9月发行第五张录音室专辑《Release Therapy》,该专辑获得了第49届格莱美奖「最佳说唱专辑奖」 。2008年参演动作犯罪电影《摇滚黑帮》。
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