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2.在完备的度量空间中，所有的柯西序列都是收敛的。
这个等价关系在（距离定义为绝对值时），中（距离定义为模），和中（对任意一个模）成立。在巴拿赫空间中，所有的子空间都是完备的度量空间，等价关系对任意一个模成立。
在-赋范向量空间中，若距离定义为几何距离，则上面的推论中只有第一个成立，因为这不是完备空间。不过这时所有的柯西序列仍然收敛，只是序列极限属于而不是。
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2012年1月29日，他在和博阿的州联赛比赛中射进职业生涯的首个进球。 他的首个巴甲联赛进球发生在同年6月23日，帮助米内罗5比1击败瑙蒂科。 2012赛季，他在巴甲联赛出场36次，全部是首发，并进球11个，和罗纳尔迪尼奥，若两人并列球队最佳射手。他也因此赢得赛季巴西最佳年轻球员的称号。 2012年12月，球队再次拒绝莫斯科斯巴达克对他980万英镑的报价。
2013年7月30日，米内罗同意乌克兰足球超级联赛球队顿涅茨克矿工对他2200万英镑的报价。但是，伯纳德的父亲兼经纪人宣布伯纳德更想加盟波尔图。 不过8月8日，顿涅茨克矿工最终官方宣布和伯纳德签约5年。 8月31日，他在顿涅茨克矿工1比1战平哈尔科夫冶金的比赛替补道格拉斯·哥斯达出场，首次在乌克兰联赛亮相。
2012年9月11日，伯纳德被巴西国家队主教练梅内塞斯招入9月19日和阿根廷友谊赛的大名单。 同年11月21日，他在和阿根廷的第二场比赛终于得到出场机会，首次代表国家队出场。
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这一结论曾在1836年被高斯直接使用，1874年由菲利克斯·卢卡斯证明。
二次多项式 的导数的根为原多项式的两个根的平均数。
同样地，如果一个 次多项式有 个两两不同的实值零点，根据罗尔定理，其导数的每个零点都位于区间 之中。
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