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证明 假设所连接的两个顶点为和，考虑图。
* 当和的颜色相同时，这种着色方式也是的一种合理着色方式，反之亦然。所以对图将和染上相同颜色的着色方式有种。
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水排，排同㰆，或作鞴。中国古代一种利用水力作原动力，推动革囊鼓风吹火的冶铁装置，东汉杜诗创造。
在金属冶炼中，为了使燃料充分燃烧，以提高冶炼或浇铸金属的熔炉的炉温，一般都有鼓风设备。鼓风技术如何，是衡量冶金水平的重要标志。向炉中压送空气的装置，称为“排”。最初的“排”是牛皮袋，以后演变为由活塞送风的风箱。在炉前并排放几只“橐”（皮囊）列成一排，冶铸鼓风之动力主要是人力、畜力，即“人排”与“马排”。水排是利用水力驱动的一种鼓风机，水排的出现，是我国古代冶铁技术的重大创新。汉光武帝建武七年（31年），南阳郡太守杜诗造水排，用于冶铁铸造。水排能加大风量、提高风压，增强风力在炉中的穿透力，提高冶炼强度，扩大炉缸，加高炉身，增大有效容积，较原来用人力、畜力鼓风省力而功效大。韩暨用水排冶铁，比用马排利益多得三倍。其法宋朝时失传。中国国家博物馆有复原模型。
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沃尔特·桑萨瓦尔（Fr. Gautier Sans-Avoir，10月21日），也称为「贫穷的沃尔特」，是法兰西岛省的柏伊希－桑萨瓦尔（Boissy-sans-Avoir）之领主。他在第一次十字军东征刚开始时作为隐士彼得的副手与他共同领导平民十字军。在留下平民十字军的主力与隐士彼得先行出发后，他带著他的军团穿越了神圣罗马帝国、匈牙利王国与东罗马帝国的保加利亚省。虽然他们平安地通过了日耳曼与匈牙利地区，但沃尔特的部下却洗劫了贝尔格勒地区而招致报复。而在这之后他们在拜占庭的护卫下继续前往君士坦丁堡。
沃尔特与彼得的军队在君士坦丁堡会合，并由阿历克塞一世所派的船只运过博斯普鲁斯海峡。而之后虽然隐士彼得试图管束他的部队，但十字军们还是立刻对土耳其人发动攻击并开始分裂。于是彼得便返回了君士坦丁堡请求支援，或是为了保护他自己。而沃尔特则在之后死于1096年10月21日塞尔柱国王基利杰阿尔斯兰一世的部队对他们的攻击之中，据说死于射穿他的七支箭下。
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